Doc.com KHÔNG quảng cáo, với tải file cực nhanh không đợi đợi.
Bạn đang xem: Cách phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử là câu chữ vô cùng đặc biệt quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 8 học tập kì 1. Đây là dạng bài xích thường chạm mặt trong Toán 8, đồng thời cũng chính là phần toán căn bạn dạng các em cần nắm vững để hoàn toàn có thể làm những dạng Toán nâng cao. Tài liệu bên dưới đây, Vn
Doc sẽ gửi tới các bạn 8 cách thức phân tích nhiều thức thành nhân tử, kim chỉ nan kèm bài tập vận dụng để những em luyện tập. Dưới đây mời các em xem thêm chi tiết.
I. Các phương pháp phân tích nhiều thức thành nhân tử
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Trong biểu thức câu hỏi cho, bọn họ cần lựa lựa chọn ra những ẩn số tốt hằng của một vài biểu thức khăng khăng là ước chung và lựa chọn chúng có tác dụng nhân tử. Để dễ hiểu chúng ta có như sau:
A.B + C.B - B.Q=B.(A + C-Q)
Mấu chốt của sự việc là làm nỗ lực nào bọn họ phải gửi được biểu thức đã cho về dạng tích của nhiều đa thức. Bởi nhiều người mới học, cũng bảo để nhân tử phổ biến nhưng lúc xem hiệu quả thì chưa tồn tại dạng tích nhưng vẫn nghỉ ngơi dạng tổng.
Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung.
2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Ở phương thức này các bạn cần áp dụng linh hoạt 7 hằng đẳng thức lưu niệm vào vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử. Vận dụng những hằng đẳng thức để đổi khác đa thức thành tích những nhân tử hoặc luỹ vượt của một nhiều thức solo giản.
Ví dụ: Phân tích nhiều thức sau thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a.
3. Phương thức nhóm nhiều hạng tử
Dùng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức, ta kếp hợp phần nhiều hạng tử của nhiều thức thành từng nhóm thích hợp rồi sử dụng các phương thức khác phân tích nhân tử theo từng đội rồi so sánh chung đối với các nhóm. Thường sau khoản thời gian nhóm chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đặt nhân tử tầm thường hoặc dùng hằng đắng thức để làm tiếp.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương thức nhóm những hạng tử.
4. Cách thức tách
Ta có thể tách bóc 1 hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay những hạng tử mê say hợp để làm xuất hiện các nhóm hạng tử nhưng mà ta rất có thể dùng các cách thức khác để phân tích được
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bởi phương pháp bóc tách hạng tử.
5. Cách thức thêm giảm cùng một hạng tử
Ta hoàn toàn có thể thêm sút 1 hạng tử nào kia của nhiều thức để gia công xuất hiện hầu hết nhóm hạng tử cơ mà ta có thể dùng các cách thức khác để phân tích được.
Ví dụ
6. Cách thức đặt biến đổi phụ
Trong một số trường hợp, để việc phân tích nhiều thức thành nhân tử được thuận lợi, ta phải kê biến phụ ưng ý hợp.
Ví dụ:
Đặt:
Ta có:
7. Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ áp dụng được cho các đa thức như là mọi đa thức gồm dạng . Khi phân tích những đa thức có dạng như bên trên thì biểu thức sau khoản thời gian phân tích đều có 1 nhân tử là Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử
8. Phương pháp hệ số bất định
II. Lấy một ví dụ minh họa
Bài 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
a, (ab - 1 )2 + ( a + b )2
b, x3 + 2x2 + 2x + 1
c, x2 - 2x - 4y2 - 4y
Giải
a) Ta tất cả ( ab - 1 )2 + ( a + b )2 = a2b2 - 2ab + 1 + a2 + 2ab + b2
= a2b2 + a2 + b2 + 1 = ( a2b2 + a2 ) + ( b2 + 1 )
= a2( b2 + 1 ) + ( b2 + 1 ) = ( a2 + 1 )( b2 + 1 )
b) Ta tất cả x3 + 2x2 + 2x + 1 = ( x3 + 1 ) + ( 2x2 + 2x )
= ( x + 1 )( x2 - x + 1 ) + 2x( x + 1 ) = ( x + 1 )( x2 + x + 1 )
c) Ta gồm x2 - 2x - 4y2 - 4y = ( x2 - 4y2 ) - ( 2x + 4y )
= ( x - 2y )( x + 2y ) - 2( x + 2y )
= ( x + 2y )( x - 2y - 2 ).
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x, biết x3 - x = 6.
Giải
Ta có: A = x6 - 2x4 + x3 + x2 - x = ( x6 - 2x4 + x2 ) + ( x3 - x )
= ( x3 - x )2 + ( x3 - x )
Với x3 - x = 6 = ( x3 - x )2 + ( x3 - x ), ta gồm A = 62 + 6 = 36 + 6 = 42.
Vậy A = 42.
III. áp dụng giải một số trong những dạng bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử
Bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1: Phân tích nhiều thức thành nhân tử
a) 3x - 6y;
b)
;c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2;
d)
;e) 10x(x - y) - 8y(y - x).
* giải mã bài 39 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 3x - 6y = 3(x-2y)
b)
c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x - 7xy.3y +7xy.4xy = 7xy(2x-3y+4xy)
d)
e) 10x(x - y) - 8y(y - x)
- Ta thấy: y - x = –(x – y) phải ta có:
10x(x - y) - 8y(y - x) =10x(x - y) - 8y<-(x - y)> =10x(x - y) + 8y(x - y) =2(x-y)(5x+4y)
Bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tính quý hiếm của biểu thức
a) 15.91,5 + 150.0,85;
b) x(x - 1) - y(1 - x) trên x = 2001 cùng y = 1999.
* giải thuật bài 40 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- lưu giữ ý: cùng với dạng bài bác tập này chúng ta cần so với hạng tử để xuất hiện nhân tử bình thường rồi phân tích thành nhân tử trước khi tính giá trị.
a) 15.91,5 + 150.0,85 =15.91,5 + 15.10.0,85 =15(91,5 + 10.0,85) =15(91,5 + 8,5) =15.100 =1500.
b) x(x - 1) - y(1 - x)
- Ta thấy: 1 - x = -(x - 1) đề nghị ta có:
x(x - 1) - y(1 - x) =x(x-1)-y<-(x-1)> =x(x-1)+y(x-1) =(x-1)(x+y)
- nuốm x = 2001 với y = 1999 ta được: (2001-1)(2001+1999) =2000.4000 =8000000
Bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1: Tìm x, biết:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0;
b) x3 – 13x = 0
* giải mã bài 41 trang 19 skg toán 8 tập 1:
a) 5x(x -2000) - x + 2000 = 0
⇔ 5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0
⇔ (x – 2000).(5x – 1) = 0
- tóm lại có 2 cực hiếm x vừa ý là x = 2000 với x = 1/5.
b) x3 = 13x ⇔ x3 – 13x = 0 ⇔ x(x2 – 13) = 0
- Kết luận: Có cha giá trị của x vừa lòng là x = 0, x = √13 và x = –√13.
Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1: minh chứng rằng 55n + 1 – 55n phân chia hết đến 54 (với n là số từ bỏ nhiên)
* giải thuật Bài 42 trang 19 skg toán 8 tập 1:
- Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n.55 - 55n = 55n (55 - 1) = 55n.54
- vì chưng 54 phân chia hết cho 54 buộc phải 55n.54 luôn luôn chia hết đến 54 cùng với n là số trường đoản cú nhiên.
⇒ Vậy 55n + 1 – 55n chia hết mang lại 54.
Bài 43 trang 20 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 + 6x + 9; b) 10x – 25 – x2
c)
; d)* lời giải bài 43 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2.(x).(3) + (3)2 = (x+3)2
b) 10x – 25 – x2 = –(–10x + 25 + x2) = –(x2 - 10x + 25)
= –<(x)2 – 2.(5).(x) + (5)2> = –(x–5)2
c)
d)
Bài 44 trang đôi mươi skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
; b) (a + b)3 – (a – b)3c) (a + b)3 + (a – b)3 ;
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
e) - x3 + 9x2 – 27x + 27.
* lời giải bài 44 trang 20 skg toán 8 tập 1:
a)
b) (a + b)3 – (a – b)3
= <(a + b) – (a – b)> . <(a + b)2 + (a + b).(a – b) + (a – b)2>
= (a + b – a + b) . (a2 + 2ab + b2 + a2 – b2+ a2 – 2ab + b2)
= 2b.(3a2+ b2)
c) (a + b)3 + (a – b)3
= <(a + b) + (a – b)> . <(a + b)2 – (a + b)(a –b) + (a – b)2>
= <(a + b) + (a – b)> . <(a2 + 2ab + b2) – (a2 – b2) + (a2 – 2ab + b2)>
= (a + b + a – b) . (a2 + 2ab + b2 – a2 + b2 + a2 – 2ab + b2)
= 2a.(a2 + 3b2)
d) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 = (2x)3 + 3.(2x)2.y + 3.2x.y2 + y3 = (2x + y)3
e) –x3 + 9x2 – 27x + 27= (–x)3 + 3.(–x)2.3 + 3.(–x).32 + 33 = (–x + 3)3 = (3 – x)3
Bài 45 trang 20 skg toán 8 tập 1: tìm x, biết:
a) 2 - 25x2 = 0
b)
* lời giải bài 45 trang trăng tròn skg toán 8 tập 1:
a)
- Kết luận: vậy gồm 2 nghiệm thoả là
cùng .b)
- Kết luận: vậy có 1 nghiệm thoả là x=1/2.
Bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1: Tính nhanh
a) 732 - 272 ; b) 372 - 132 ; c) 20022 - 22
* giải thuật bài 46 trang 21 skg toán 8 tập 1:
a) 732 – 272 = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600
b) 372 – 132 = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200
c) 20022 – 22 = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000
Bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
a) x2 –xy + x – y
b) xz + yz – 5(x + y)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
* lời giải bài 47 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 – xy + x – y
+) Cách 1: team hai hạng tử trang bị 1 cùng thứ 2, hạng tử máy 3 và thứ 4
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y)= (x – y)(x + 1)
+) giải pháp 2: team hạng tử thiết bị 1 và thứ 3 ; hạng tử thứ 2 và lắp thêm 4
x2 – xy + x – y = (x2 + x) – (xy + y)= x.(x + 1) – y.(x + 1) = (x + 1)(x – y)
b) xz + yz – 5(x + y) = (xz + yz) – 5(x + y) = z(x + y) – 5(x + y) = (x + y)(z – 5)
c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y
+) Cách 1: đội hai hạng tử thứ nhất với nhau với hai hạng tử cuối với nhau:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) – (5x – 5y) = 3x(x – y) – 5(x – y) = (x – y)(3x – 5)
+) giải pháp 2: team hạng tử trước tiên với hạng tử sản phẩm 3; hạng tử thứ hai với hạng tử vật dụng 4:
3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 5x) – (3xy – 5y) = x(3x – 5) – y(3x – 5)= (3x – 5)(x – y).
Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 + 4x –y2 + 4
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2
* giải thuật Bài 48 trang 22 skg toán 8 tập 1:
a) x2 + 4x – y2 + 4
= (x2 + 4x + 4) – y2
= (x + 2)2 – y2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
b) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2
= 3.(x2 + 2xy + y2 – z2)
= 3<(x2 + 2xy + y2) – z2>
= 3<(x + y)2 – z2>
= 3(x + y – z)(x + y + z)
c) x2 – 2xy + y2 – z2 + 2zt – t2 = (x2 – 2xy + y2) – (z2 – 2zt + t2) = (x – y)2 – (z – t)2 = <(x – y) – (z – t)><(x – y) + (z – t)> = (x – y – z + t)(x – y + z –t) Bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: tìm x, biết: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0 * giải thuật bài 50 trang 23 sgk toán 8 tập 1: a) x(x – 2) + x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0
- Kết luận: vậy x = – 1 hoặc x = 2.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0
⇔ 5x(x – 3) – (x – 3) = 0
⇔ (x – 3)(5x – 1) = 0
- Kết luận: vậy x = 3 hoặc x = 1/5.
Bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử:
a) x3 – 2x2 + x.
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
c) 2xy – x2 – y2 + 16
* lời giải bài 51 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x3 – 2x2 + x
= x.x2 – x.2x + x.1
= x(x2 – 2x + 1)
= x(x – 1)2
b) 2x2 + 4x + 2 – 2y2
= 2.(x2 + 2x + 1 – y2)
= 2<(x2 + 2x + 1) – y2>
= 2<(x + 1)2 – y2>
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)
c) 2xy – x2 – y2 + 16
= 16 – (x2 – 2xy + y2)
= 42 – (x – y)2
= <4 – (x – y)><4 + (x + y)>
= (4 – x + y)(4 + x – y).
Bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 phân chia hết đến 5 với đa số số nguyên n.
* giải thuật bài 52 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
- Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2)= 5n(5n + 4)
- bởi 5 ⋮ 5 đề xuất 5n(5n + 4) ⋮ 5 ∀n ∈ Ζ.
⇒ Vậy (5n + 2)2 – 4 luôn luôn chia hết mang lại 5 với n ∈ Ζ
Bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 3x + 2
b) x2 + x – 6
c) x2 + 5x + 6
(Gợi ý : Ta không thể áp dụng ngay các phương thức đã học nhằm phân tích tuy vậy nếu tách hạng tử - 3x = - x – 2x thì ta gồm x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2 với từ đó dễ ợt phân tích tiếp.
Cũng gồm thể tách 2 = - 4 + 6, khi ấy ta có x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6, tự đó thuận lợi phân tích tiếp)
* giải mã bài 53 trang 24 sgk toán 8 tập 1:
a) x2 – 3x + 2
= x2 – x – 2x + 2
= (x2 – x) – (2x – 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x – 1)(x – 2)
Hoặc: x2 – 3x + 2
= x2 – 3x – 4 + 6
= x2 – 4 – 3x + 6
= (x2 – 22) – 3(x – 2)
= (x – 2)(x + 2) – 3.(x – 2)
= (x – 2)(x + 2 – 3) = (x – 2)(x – 1)
b) x2 + x – 6
= x2 + 3x – 2x – 6
= x(x + 3) – 2(x + 3)
= (x + 3)(x – 2)
c) x2 + 5x + 6 (Tách 5x = 2x + 3x)
= x2 + 2x + 3x + 6
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
IV. Bài bác tập về phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 1: Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?
A. ( 2y + z )( 4x + 7y )
B. ( 2y - z )( 4x - 7y )
C. ( 2y + z )( 4x - 7y )
D. ( 2y - z )( 4x + 7y )
Lời giải:
Ta gồm 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) = 4x( 2y - z ) - 7y( 2y - z ) = ( 2y - z )( 4x - 7y ).
Chọn lời giải B.
Bài 2: Đa thức x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) được so với thành nhân tử là ?
A. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )
B. ( x3 - 1 )( x2 - 1 )
C. ( x - 1 )( x + 1 )( x2 + x + 1 )
D. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )
Lời giải:
Ta có x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) = ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) = ( x - 1 )( x + 1 )( x - 1 )( x2 + x + 1 )
= ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )
Chọn đáp án D.
Bài 3: Tính giá trị của biểu thức A = x2 - y2 + 2y - 1 cùng với x=3 và y=1.
A. A = - 9. B. A = 0.
C. A = 9. D. A = - 1.
Xem thêm: Data Analyst Là Gì? Phương Pháp & + 4 Kỹ Thuật Phân Tích Dữ Liệu Lớn
Lời giải:
Ta tất cả A = x2 - y2 + 2y - 1 = x2 - ( y2 - 2y + 1 )
= x2 - ( y - 1 )2 = ( x - y + 1 )( x + y - 1 ) (hằng đẳng thức a2 - b2 = ( a - b )( a + b ) ).
Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 - 1 + 1 )( 3 + 1 - 1 ) = 3.3 = 9.
Chọn giải đáp C.
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy
A. (x + y).(x2 - xy + y2 + x)
B. (x - y).(x2 + xy + y2 - x)
C. (x + y).(x2 + xy + y2 - x)
D. (x - y).(x2 + xy - y2 + x)
Lời giải:
Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)
= (x + y). (x2 – xy + y2) + x.(x + y)
= (x + y). (x2 - xy + y2 + x)
Chọn câu trả lời A
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 9x + 2x2y + xy2
A. X. (x - y + 3).(x + y - 3)
B. X. (x + y + 3).(x + y - 3)
C. X. (x - y + 3).(x - y - 1)
D. X. (x + y + 1).(x - y - 3)
Lời giải:
Ta có: x3 – 9x + 2x2y + xy2
= x.(x2 – 9 + 2xy + y2)
= x.<(x2 + 2xy + y2) – 9>
= x.<(x + y)2 – 32>
= x.(x + y + 3).(x + y - 3)
Chọn giải đáp B
học viên tự luyện tập
Bài tập 1: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
1) x2 - y2 - 2x + 2y
2) 2x + 2y - x2 - xy
3) x2 - 25 + y2 + 2xy
4) x2 - 2x - 4y2 - 4y
5) x2y - x3 - 9y + 9x
6) x2(x -1) + 16(1- x)
Bài tập 2: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)
2) x3 + x2y – 4x – 4y
3) 3(x+ 4) – x2 – 4x
4) x3 – 3x2 + 1 – 3x
5) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y
6) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2
7) x2 – xy + x – y
8) x2 – 2x – 15
Bài tập 3: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
1) 2x2 + 3x – 5
2) x2 + 4x – y2 + 4
3) 2x2 – 18
4) x3 – x2 – x + 1
5) x2 – 7xy + 10y2
6) x4 + 6x2y + 9y2 - 1
7) x3 – 2x2 + x – xy2
8) ax – bx – a2 + 2ab – b2
Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) x4y4 + 4 2) x7 + x2 + 1
3) x4y4 + 64 4) x8 + x + 1
5) x8 + x7 + 1 6) 32x4 + 1
7) x8 + 3x4 + 1 8) x4 + 4y4
9) x10 + x5 + 1
Bài tập 5: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
1) x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2) 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3) 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5) x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6) x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7) x4 – 13x2 + 36
8) x4 + 3x2 – 2x + 3
9) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 6: Phân tích những đa thức sau thành nhân tử
1) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2) (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5) 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
6) 5x4 + 24x3 – 15x2 – 118x + 24
7) 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8) x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9) x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2) (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24
5) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6) x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7) (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
8) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9) 4(x2 + 15x + 50) - (x2 + 18x + 74) – 3x2
Ngoài 8 phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cực hay, mời các bạn tham khảo thêm các tư liệu Toán 8 và những đề thi học tập kì 1 lớp 8, đề thi học tập kì 2 lớp 8 mà chúng tôi đã học hỏi và chọn lọc.
kiến thức và kỹ năng phân tích nhiều thức thành nhân tử giúp những em nhận ra cách phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cha cách. Đồng thời bài viết cung cấp cho hướng dẫn giải bài bác tập của bài học kinh nghiệm trong sách toán 8 liên kết tri thức, chân trời sáng chế và cánh diều.
1. Phân tích đa thức thành nhân tử
Định nghĩa: Phân tích nhiều thức thành nhân tử giỏi thừa số là chuyển đổi đa thức đố thành một tích của các đa thức.
Ví dụ: 9x2- 4y2= (3x - 2y)(3x + 2y) là phân tích nhiều thức thành nhân tử bởi vì phép chuyển đổi đó đã trở thành đa thức9x2- 4y2thành tích của hai nhiều thức.
2. Những cách phân tích nhiều thức thành nhân tử
2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử bình thường là cách tìm nhân tử tầm thường của từng hạngtử trong nhiều thức để viết thành tích của nhân tử đó với một đơn thức. Sau đó sử dụng các đặc điểm phân phối của phép nhân, phép cùng để viết các kết quả của nhân tử đó với đa thức.
A.B + A.C + A.D = A(B+ C +D)
- lưu lại ý: Với phương thức phân tích này, các em cần để ý đến quy tắc vết ngoặc:Khi vứt dấu ngoặc bao gồm dấu "−" đứng trước, ta bắt buộc đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: lốt "−“ thành vết "+" với dấu "+” thành vệt "−". Khi vứt dấu ngoặc bao gồm dấu "+" đứng trước thì dấu những số hạng vào ngoặc vẫn giữ nguyên.
2.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm những hạng tử
- phương pháp làm:
Bước 1: chọn và nhóm các hạng tử vào trong 1 nhóm làm thế nào cho các nhóm sau thời điểm phân tích thành nhân tử bao gồm thừa số bình thường hoặc liên hệ các đội lá hằng đẳng thức.
Bước 2: Nếu những nhóm gồm thừa số bình thường thì đặt nó làm nhân tử chung ra bên ngoài khi kia trong ngoặc là tổng các thừa số của tập thể nhóm còn lại.
Ví dụ: x2- y2+ 2x + 2y = (x2- y2) + (2x + 2y)
= (x - y)(x + y) + 2(x + y) = (x + y)( x - y + 2)
2.3 Phân tích nhiều thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
- cách làm: Sử dụng các hằng đẳng thức kỷ niệm để phân tích nhiều thức thành nhân tử. Chú ý sử dụng linh hoạt những hằng đẳng thức tương xứng để phân tích nhiều thức thành nhân tử.
Ví dụ: x2- 8x + 16 = (x - 4)2
3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách: bài xích tập
3.1 bài tập phân tích đa thức thành nhân tử sách chân trời sáng sủa tạo
Bài 1 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạoa) x3+ 4x = x.x2+ x.4 = x(x2+ 4).
b) 6ab – 9ab2= 3ab.2 – 3ab.3b = 3ab(2 – 3b).
c) 2a(x – 1) + 3b(1 – x) = 2a(x – 1) + 3b<– (x – 1)>
= 2a(x – 1) – 3b(x – 1) = (x – 1)(2a – 3b).
d) (x – y)2– x(y – x) = (x – y)2+ x(x – y)
= (x – y)(x – y + x) = (x – y)(2x – y).
Bài 2 trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạoa) 4x2– 1 = (2x)2– 12= (2x + 1)(2x –1).
b) (x + 2)2– 9 = (x + 2)2– 32
= (x + 2 + 3)(x + 2 – 3) = (x + 5)(x – 1).
c) (a + b)2– (a – 2b)2
= <(a + b) + (a – 2b)> . <(a + b) – (a – 2b)>
= .
= (2a – b).3b.
Bài 3trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng sủa tạoa) 4a2+ 4a + 1 = (2a)2+ 2.2a.1 + 12= (2a + 1)2.
b) –3x2+ 6xy – 3y2= –3(x2– 2xy + y2) = –3(x – y)2.
c) (x + y)2– 2(x + y)z + z2= <(x + y) – z>2= (x + y – z)2.
Bài 4trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng tạoa) 8x3– 1= (2x)3– 13= (2x – 1)<(2x)2+ 2x.1 + 12>
= (2x – 1)(4x2+ 2x + 1).
b) x3+ 27y3= x3+ (3y)3
= (x + 3y)
= (x + 3y)(x2– 3xy + 9y2).
c) x3– y6= x3– (y2)3
= (x – y2)
= (x – y2)(x2+ xy2+ y4).
Bài 5trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng sủa tạoa) 4x3– 16x = 4x(x2– 4) = 4x(x2– 22)
= 4x(x + 2)(x – 2).
b) x4– y4= (x2)2– (y2)2
= (x2+ y2)(x2– y2)
= (x2+ y2)(x + y)(x – y).
c)
d) x2+ 2x – y2+ 1
= (x2+ 2x + 1) – y2
= (x + 1)2– y2
= (x + 1 + y)(x + 1 – y).
Bài 6trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng sủa tạoa) x2– xy + x – y = (x2– xy) + (x – y)
= x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 1).
b) x2+ 2xy – 4x – 8y = (x2+ 2xy) – (4x + 8y)
= x(x + 2y) – 4(x + 2y) = (x + 2y)(x – 4).
c) x3– x2– x + 1 = (x3– x2) – (x – 1)
= x2(x – 1) – (x – 1) = (x – 1)(x2– 1)
= (x – 1)(x + 1)(x – 1) = (x – 1)2(x + 1).
Bài 7trang 25 SGK toán 8/1 chân trời sáng sủa tạoGiả sử hình vuông vắn có độ lâu năm cạnh bởi a (a > 0), lúc đó diện tích của hình vuông vắn là a2.
=> 49y2+ 28y + 4 = a2.
Ta phân tích nhiều thức 49y2+ 28y + 4 thành nhân tử có dạng a2.
49y2+ 28y + 4 = (7y)2+ 2.7y.2 + 22= (7y + 2)2
Vậy độ dài cạnh của hình vuông có diện tích bằng 49y2+ 28y + 4 là 7y + 2.
Duy nhất khóa đào tạo và huấn luyện DUO tại thamluan.com dành riêng cho cấp THCS, các em sẽ tiến hành học tập cùng các thầy cô đến từ top 5 trường chăm toàn quốc. Cấp tốc tay đk thôi !!!!
3.2Bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử sách cánh diều
Bài 1 trang 26 SGK toán 8/1 cánh diềua) 4x2– 12xy + 9y2= (2x)2– 2 . 2x . 3y + (3y)2= (2x – 3y)2;
b) x3+ 6x2+ 12x + 8 = x3+ 3 . X2. 2 + 3 . X . 22+ 23= (x + 3)3;
c) 8y3– 12y2+ 6y – 1 = (2y)3– 3 . (2y)2. 1 + 3 . 2y . 1 – 13= (2y – 1)3;
d) (2x + y)2– 4y2= (2x + y + 4y)(2x + y – 4y) = (2x + 5y)(2x – 3y);
e) 27y3+ 8 = (3y)3+ 23= (3y + 2)<(3y)2– 3y . 2 + 22>
= (3y + 2)(9y2– 6y + 4);
g) 64 – 125x3= 43– (5x)3= (4 + 5x)<42+ 4 . 5x + (5x)2>
= (4 + 5x)(16 + 20x + 25x2).
Bài 2trang 26 SGK toán 8/1 cánh diềua) x2– 25 + 4xy + 4y2= (x2+ 4xy + 4y2) – 25
= (x + 2y)2– 52= (x + 2y + 5)(x + 2y – 5);
b) x3– y3+ x2y – xy2= (x3+ x2y) – (y3+ xy2)
= (x3+ x2y) – (y3+ xy2) = x2(x + y) – y2(x + y)
= (x + y)(x2– y2) = (x + y)(x + y)(x – y) = (x + y)2(x – y);
c) x4– y4+ x3y – xy3= (x4+ x3y) – (y4+ xy3)
= x3(x + y) – y3(x + y) = (x + y)(x3– y3)
= (x + y)(x – y)(x2+ xy + y2).
Bài 3trang 26 SGK toán 8/1 cánh diềua) Ta gồm A = x4– 2x2y – x2+ y2+ y
= (x4– 2x2y + y2) – (x2– y)
= <(x2)2– 2x2y + y2> – (x2– y)
= (x2– y)2– (x2– y).
Giá trị của mỗi biểu thức A cùng với x2– y = 6 là:
A = (x2– y)2– (x2– y) = 62– 6 = 36 – 6 = 30.
b) B = x2y2+ 2xyz + z2= (xy)2+ 2xyz + z2= (xy + z)2.
Giá trị của mỗi biểu thức tại xy + z = 0 là: B = (xy + z)2= 02= 0.
Bài 4trang 26 SGK toán 8/1 cánh diềua) Ta có M = 322 023– 322 021= 322. 322 021– 322 021
= (322– 1) . 322 021= (1024 – 1) . 322 021= 1023 . 322 021
Vì 1023 ⋮ 31 đề nghị (1023 . 322 021) ⋮ 31.
Do kia M = 322 023– 322 021chia hết cho 31;
b) Ta gồm N = 76+ 2 . 73+ 82022+1 = (73)2+ 2 . 73+1 + 82022
= (73+ 1)2+ 82022= 3442+ 82022.
Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 đề nghị 3442⋮ 8; 82022⋮ 8.
Do đó (3442+ 82022) ⋮ 8
Vậy N = 76+ 2 . 73+ 82022+1 phân tách hết cho 8.
Bài 5trang 26 SGK toán 8/1 cánh diềua) Số tiền lãi bác Hoa nhận thấy sau 12 mon là: a . R% (đồng)
Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa đã đạt được sau 12 mon là:
a + a . R% = a . (1 + r%) (đồng).
b) Sau kì hạn 12 tháng, chưng Hoa liên tục đem gửi đến kì hạn 12 tháng tiếp theo, có nghĩa là bác Hoa gởi tiếp 12 mon với số tiền nơi bắt đầu là a . (1 + r%) (đồng).
Số tiền lãi bác bỏ Hoa dìm được sau thời điểm gửi 24 tháng là:
a . (1 + r%) . R% (đồng).
Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhấn được sau thời điểm gửi 24 mon là:
a . (1 + r%) + a . (1 + r%) . R% = a(1 + r%)(1 + r%) = a(1 + r%)2(đồng).
3.3Bài tập phân tích nhiều thức thành nhân tử sách liên kết tri thức
Bài 2.22 trang 44 SGK toán 8/1 liên kết tri thứca) x2+ xy = x(x + y);
b) 6a2b – 18ab = 6ab(a – 3);
c) x3– 4x = x(x2– 4) = x(x + 2)(x – 2);
d) x4– 8x = x(x3– 8) = x(x3– 23)
= x(x – 2)(x2+ 2x + 22) = x(x – 2)(x2+ 2x + 4).
Bài 2.23trang 44 SGK toán 8/1 liên kết tri thứca) x2– 9 + xy + 3y = (x2– 9) + (xy + 3y)= (x + 3)(x – 3) + y(x + 3)