Tính Tích Phân Suy Rộng Online, Giải Tích 1

Bài giảng
Giải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kê
Video bài xích giảng
Thảo luận
Thảo luận về giải tích
Thảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooks
Maths Ebooks

3. Bài xích giải mẫu:

3.1. Lấy ví dụ như 1: Xét sự quy tụ của tích phân:

1+x^2}}} \, " class="latex" />

Xét:

1+x^2}}} " class="latex" />.

Bạn đang xem: Tính tích phân suy rộng online

Rõ ràng:

Ta đã tìm cách thực hiện dấu hiệu so sánh 2 bằng phương pháp xây dựng hàm g(x) tương tự với hàm f(x).

Muốn vậy, ta sẽ sửa chữa thay thế các vô cùng bé (vô cùng lớn) lúc

gồm trong f(x) bằng những VCB (VCL) tương đương .

Ở đây ta có:

1+x^2} \sim x^ \dfrac23 " class="latex" />

Do đó:

1+x^2}}} \sim \dfrac1x^ \dfrac76 " class="latex" />

Vậy hàm số g(x) buộc phải xét ở chỗ này là:

Khi đó:

(việc kiểm tra dành riêng cho bạn)

Mà:

quy tụ (do s = ).

Vậy theo dấu hiệu so sánh ta có:

1+x^2}}} \, " class="latex" /> hội tụ.

3.2.Ví dụ 2 : Xét sự quy tụ của tích phân:

Ta tìm những xây dựng hàm g(x) bằng cách thay thế những VCL tương đương.

Do

yêu cầu x là VCL bậc cao hơn sinx.

Vậy:

Nên:

.

Vậy hàm g(x) buộc phải xét là:

.

Đến trên đây dễ tóm lại tích phân phải xét là hội tụ.

3.3. Lấy một ví dụ 3: Xét sự quy tụ của tích phân:

Rõ ràng, bắt buộc tính trực tiếp tích phân này vày hàm mang tích phân không thể gồm nguyên hàm là những hàm sơ cấp.

Mặc dù,

là ngân hàng ngoại thương vcb khi dẫu vậy ta ko thể kiếm được VCB tương đương nào để cụ thế. Cũng vậy, trường hợp viết thì ta cũng không chỉ là ra được VCL tương đương nào cùng với .

Vậy chẳng thể xây dựng hàm g(x) tương đương.

Tích phân này cũng không thể sử dụng tín hiệu Dirichlet nhằm so sánh.

Ta tìm biện pháp chặn hàm f(x) bởi các bất đẳng thức.

Ta có:

t , \forall t \ge 0 " class="latex" />

Do vậy:

Tuy nhiên, ta cấp thiết xét hàm

. Vì hàm f(x) khẳng định tại x = 0 trong khi hàm g(x) lại không xác định. Giả dụ không chăm chú ta vẫn dễ dẫn đến ngộ dấn là phân kỳ do phân kỳ.

Ta đề nghị xét trên các khoảng cơ mà cả f(x) lẫn g(x) các cùng xác định. Vì đó:

Tích phân thứ nhất ở vế phải là tích phân xác định nên hội tụ, tích phân còn sót lại cũng quy tụ (do s = 3 > 1) .

Bài giảng
Giải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear
Algebra)Xác suất thốngkê
Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace)Thảo luận
Thảo luận về giảitích
Thảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooks
Maths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng nhiều loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác minh trên

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

Thì giới hạn này điện thoại tư vấn là tích phân suy rộng của f(x) bên trên

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng lớn

là quy tụ (integral is convergent)

Nếu số lượng giới hạn này là vô cùng hoặc ko tồn tại ta nói tích phân suy rộng lớn

là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

là hội tụ; là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

2.

.

Xem thêm: Tham luận chỉ thị 24 - quyết tâm thực hiện tốt chỉ thị số 24

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

Ta có:

(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

Thế vào (*) ta có:

(do

)

Vậy: I quy tụ và

1.2 Định nghĩa:

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự quy tụ của tích phân:

0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Lúc đó:

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo lấy ví dụ như trên ta bao gồm chuỗi phân kỳ.

Với s

= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hòa hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý so sánh 1:

Giả sử f(x) với g(x) ko âm và khả tích trên , với f(x) ≤ g(x) ở sát bên +∞ ( có nghĩa là x đủ lớn). Khi đó:

Nếu quy tụ thì tích phân hội tụ
Nếu phân kỳ thì tích phân phân kỳ.

1.4.2 Định lý so sánh 2:

Giả sử f(x) với g(x) không âm và cùng khả tích bên trên , cùng f(x) ≤ g(x) ở kề bên +∞ ( tức là x đầy đủ lớn).

Nếu

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân

, ta nên xây dựng hàm g(x) làm thế nào cho . Nghĩa là, f(x) với g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta buộc phải nhận diện và sửa chữa thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) tất cả trong f(x) bằng những VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chăm chú cả nhì hàm f(x) và g(x) yêu cầu cùng khả tích trên

1.5 những ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:

Ví dụ 1

.

Rõ ràng: hàm

là hàm số dương, khẳng định và liên tục với rất nhiều x thuộc .

Khi

: lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương tự tương ứng. Do vậy, ta không sử dụng dấu hiệu đối chiếu 2.

Ta hoàn toàn có thể dùng dấu hiệu đối chiếu 1. Mong muốn vậy, nên chặn hàm lnx. Ta dễ dãi có bất đẳng thức sau:

Vậy tích phân đã đến phân kỳ.( do tích phân

phân kỳ).

Ví dụ 3

1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

chú ý hàm đem tích phân, ta thấy:

lúc

1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) và g(x) thuộc khả tích trên <1;+∞) cần

cùng cùng quy tụ hoặc thuộc phân kỳ.

Mặt khác:

hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

ta có:

x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) xác định và thường xuyên với đầy đủ

, còn g(x) không xác minh tại x = 0 đề xuất ta chưa thể cần sử dụng dấu hiệu so sánh 2 được.

Khi đó, bóc tách I4 thành 2 tích phân ta có:

x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– vị

x}1+x^2 " class="latex" /> xác định và liên tục trên <0;1> bắt buộc x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân xác minh nên hội tụ.

–

x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> yêu cầu hội tụ.