Biện luận hạng của ma trận theo tham số
Tương từ như tìm hạng của ma trận mang lại trước ta hoàn toàn có thể sử dụng phép chuyển đổi Gauss hoặc áp dụng định thức baoquanh (định thức con bao gồm cấp k của ma trận). Giả dụ ma trận buộc phải biện luận hạng là một trong những ma trận vuông ta rất có thể biệnluận hạng của nó theo định thức của ma trận đó.Bạn đang xem: Biện luận theo a hạng của ma trận
Các đặc điểm về hạng của ma trận
a)
b) Nếu là một trong ma trận vuông cấp khi đó phụ thuộc vào tính hóa học này bạn có thể dùngđịnh thức nhằm tìm hay biện luận hạng của một ma trận vuông;
c) Nếu là một trong ma trận vuông cấp lúc đó hệ véctơ loại (hệ véctơ cột) của ma trận tự do tuyến tính khi vàchỉ khi
Hạng của ma trận phụ hợp
Định lí. Mang đến ma trận và là ma trận phụ thích hợp của khi ấy ta có:
a)
b)
c)
Ví dụ 1: đến ma trận Biện luận theo hạng của ma trận là ma trận phụ phù hợp của
Giải. Ta có:
+) Nếu
+) Nếu
r(A) = r(A′); A n r(A) = n ⇔ det(A) ≠ 0,
A n Ar(A) = n.
A = (aij)n×n, n ≥ 2 A∗ A,r(A) = n ⇔ r(A∗) = n;r(A) = n − 1 ⇔ r(A∗) = 1;r(A) ≤ n − 2 ⇔ r(A∗) = 0.
A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 m 1−3 4 2 14 −3 2 1−1 2 1 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠. M A∗
A.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 m 1−3 4 2 14 −3 2 1−1 2 1 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 3−3 4 2 14 −3 2 11 2 m 1
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 30 −2 −1 −0 5 6 130 4 m + 1 4
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 30 −2 −1 −0 0 7 −0 0 m − 1 −
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 2 1 30 −2 −1 −0 0 7 −0 0 0 14(m − 7)
⎞⎟ ⎟⎟⎠.doi_cho_d 1 &d 4
−3d 1 +d 24d 1 +d 3d 1 +d 4 5d 2 chiều 22 +2d+d 43
−(m−1)d 3 +7d 4
m ≠ 7 ⇒ r(A) = 4 ⇒ r(A∗) = 4;m = 7 ⇒ r(A) = 3 = 4 − 1 ⇒ r(A∗) = 1.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
Câu 11
Câu 12
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam
Video bài xích giảng với lời giải chi tiết chỉ tất cả tại thamluan.com (thamluan.com)Thời gian có tác dụng bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................
m A =
⎛⎜⎝1 2 −1 −2 m + 4 −2 −3 m + 6 −3 m − 3
⎞⎟⎠m A =
⎛⎜⎝1 2 −1 −2 m + 4 −2 −3 m + 6 −3 m − 3
⎞⎟⎠a A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝3 1 4 1a 2 3 13 −1 1 03 3 7 2
⎞⎟ ⎟⎟⎠.A =⎛⎜⎝1 2 3 4m 1 2 − 3 1 −4 2
⎞⎟⎠. M r(A) = 3.
m A =
⎛⎜⎝3 m 0 3m 2 1 22 1 −2 2
⎞⎟⎠m A =
⎛⎜⎝m 2 −1 3 2 m 1 2 3 1 2 0
⎞⎟⎠m A =
⎛⎜⎝2 3 1 2−1 2 3 4−1 9 10 m
⎞⎟⎠.m A =
⎛⎜⎝1 m −1 22 −1 m 51 10 −6 1
⎞⎟⎠.a A =
⎛⎜⎝2 2 − a 4 a 21 1 − a 2 03 3 − 2a 8 − a 4
⎞⎟⎠m A =
⎛⎜⎝1 2 m m + 12 m + 2 2 m + 1 2 m + 41 4 − m m − 1 2 m − 4
⎞⎟⎠m A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝m 2 2 2 2 m 2 2 2 2 m 2 2 2 2 m
⎞⎟ ⎟⎟⎠.m A =
⎛⎜⎝1 −1 2 3−1 1 3 −1 −1 7 m
⎞⎟⎠Câu 24
Câu 25
Câu 26
Câu 27
Câu 28
Câu 29
Câu 30
phụ hòa hợp của
Câu 31
phụ thích hợp của
Câu 32
luận theo hạng của ma trận
a, b A =
⎛⎜⎝1 −1 1 1a 3 b −5 b 4 2
⎞⎟⎠b, c, d
A =⎛⎜⎜⎜⎝2 + ++ 2 ++ + 2⎞⎟⎟⎟⎠.bc
cb
d c
cdbc
cb
d b
bddc
cd
db
bd a, b
An =
⎛⎜ ⎜⎜ ⎜⎜⎜⎝a b b... B b a b... B b b a... B...............b b b... A
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎟⎠.a, b, c A =
⎛⎜⎝1 −2 0 a + 1 b −c2 3 −1 2 b −a b − trăng tròn −7 1 c 2 c − 1 2 a
⎞⎟⎠m A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 0 21 1 m đôi mươi 3 m 2 m2 −4m −m 2 −3m + 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠m A =
⎛⎜ ⎜⎜⎜⎜ ⎜⎝1 3 1 0 21 2 1 m 11 0 4 4 m −0 0 3 m 2 m2 3 −4 m m + 1
⎞⎟ ⎟⎟⎟⎟ ⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 m 1−3 4 2 14 −3 2 1−1 2 1 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠. M A∗
A.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 2 m2 1 −1 98 m 3 2−6 0 0 9
⎞⎟ ⎟⎟⎠. M A∗
A.a, b a + b > 2 A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝1 a 1 ba 1 b 11 b 1 a b 1 a 1
⎞⎟ ⎟⎟⎠.a, b A.
Câu 33
Câu 34
Câu 35
Câu 36
Câu 37
Câu 38
Câu 39
Câu 40
Câu 41
Câu 42
Câu 43
Câu 44
Câu 45
a 4 10 11 7 17 32 2 4 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠. A A
A =⎛⎜⎝1 a −1 22 −1 a 51 10 −6 1
⎞⎟⎠.m A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 12 3 2 01 − m 2 −1 0 m + 3 1 1 1 5
⎞⎟ ⎟⎟⎠m A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 12 3 2 0m + 1 −1 0 m + 3 1 1 m −
⎞⎟ ⎟⎟⎠A =⎛⎜ ⎜⎜⎝2 2 3 42 −2 1 −3 4 −1 27 0 1 m
⎞⎟ ⎟⎟⎠.m, n A =
⎛⎜⎝1 1 m 22 −1 2 14 1 0 n
⎞⎟⎠.m A =
⎛⎜⎝m 1 3 1 −2 m 3 1 3
⎞⎟⎠A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 −1 0 −−3 2 a + 1 32 a + 1 −1 0 1−2 2 1 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠.a A =
⎛⎜⎝2 2 − a 4 a 21 1 − a 2 04 4 − 3a 10 − a 4
⎞⎟⎠A =⎛⎜⎝1 1 −2 1 m1 m 3
⎞⎟⎠m.
A =⎛⎜⎝m 5 m −m2 m m 10 m−m −2m −3m
⎞⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝3 1 1 4m 4 10 1 1 7 17 3 2 2 4 1
⎞⎟ ⎟⎟⎠.A =⎛⎜ ⎜⎜⎝−1 0 2 1 02 0 −1 2 21 1 1 3 2−2 −1 1 m −
⎞⎟ ⎟⎟⎠.Câu 4 Có
Câu 5 Ta có:
Vậy
Câu 6 phát triển thành đổi:
Vậy với mọi
Câu 7 Có
Nếu
Nếu
Câu 8 đổi thay đổi:
Nếu
Nếu
= 15 ≠ 0 ⇒ r(A) = 3, ∀m.
A =⎛⎜⎝3 m 0 3m 2 1 22 1 −2 2
⎞⎟⎠−−−−−−−−→⎛⎜⎝3 m 0 32 2 1 m2 1 −2 2
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝1 m − 2 −1 3 − mét vuông 2 1 m2 1 −2 2
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 m − 2 −1 3 − m0 −2m + 6 3 3 m − 60 −2m + 5 0 2 m − 4
⎞⎟⎠−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 −1 m − 2 3 − m0 3 −2m + 6 3 m − 60 0 −2m + 5 2 m − 4
⎞⎟⎠−−−−−−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 −1 m − 2 3 − m0 3 −2m + 6 3 m − 60 0 0 (2m − 3)(m − 2)
⎞⎟⎠.doi_cho_c 1 &c 4
−d 2 +d 1 −2 −2dd 11 ++dd 23
doi_cho_c 2 &c 3
(2m−5)d 2 +(−2m+6)d 3
r(A)max = 3 ⇔ (2m − 3)(m − 2) ≠ 0 ⇔ m ≠ 2; m ≠ 32.
A =⎛⎜⎝m 2 −1 3 2 m 1 2 3 1 2 0
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝−1 3 m 2 1 2 2 m 2 0 3 1
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝−1 3 m 2 0 5 m + 2 m + 2 0 6 2 m + 3 5
⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝−1 3 m 2 0 5 m + 2 m + 2 0 0 4 m + 3 −6m + 13
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝−1 3 6 m + 8 2 0 5 10(m + 2) m + 2 0 0 70 −6m + 13
⎞⎟⎠.doi_cho_c1&c 3doi_cho_c2&c 4
d 1 +d 22 d 1 +d 3 −6d 2 +5d 3
4 c3+6c 2
m ∈ R ⇒ r(A) = 3.
A =⎛⎜⎝2 3 1 2−1 2 3 4−1 9 10 m
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝2 3 1 20 7 7 100 21 21 2 m + 2
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝2 3 1 trăng tròn 7 7 100 0 0 2 m − 28
⎞⎟⎠.d 1 +2d 2d 1 +2d 3 −3d 2 +d 3
2 m − 28 = 0 ⇔ m = 14 ⇒ r(A) = 2.2 m − 28 ≠ 0 ⇔ m ≠ 14 ⇒ r(A) = 3.
A =⎛⎜⎝1 m −1 22 −1 m 51 10 −6 1
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 m −1 đôi mươi −2m − 1 m + 2 10 −m + 10 −5 −
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 2 −1 m0 1 m + 2 −2m − 10 −1 −5 −m + 10
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝1 2 −1 m0 1 m + 2 −2m − 10 0 m − 3 −3m + 9
⎞⎟⎠.−2d 1 +d 2−d 1 +d 3
doi_cho_c2&c 4 d2+d 3
m = 3 ⇒ r(A) = 2;m ≠ 3 ⇒ r(A) = 3.
Câu 9 Ta có:
Suy ra Vậy
Câu 10 Ta có:
Câu 11 Có
Nếu
Nếu
Nếu (bạn gọi tự kiểm tra).
Câu 12 Ta có
Vậy
A =⎛⎜⎝2 2 − a 4 a 21 1 − a 2 03 3 − 2a 8 − a 4
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 1 − a 2 02 2 − a 4 a 23 3 − 2a 8 − a 4
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 1 − a 2 00 a 0 a đôi mươi a 2 − a 4
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝1 1 − a 2 00 a 0 a đôi mươi 0 2 − a 4 − a 2
⎞⎟⎠.doi_cho_d 1 &d 2
−2 −3dd 1 +d 2 1 +d 3 −d 2 +d 3
a = 0 ⇒ r(A) = 2; a = 2 ⇒ r(A) = 2; a ∉ 0, 2 ⇒ r(A) = 3. R(A)min = 2 ⇔ a = 0; a = 2.
A =⎛⎜⎝1 2 m m + 12 m + 2 2 m + 1 2 m + 41 4 − m m − 1 2 m − 4
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 2 m m + 10 m − 2 1 đôi mươi 2 − m −1 m − 5
⎞⎟⎠−−−→⎛⎜⎝1 2 m m + 10 m − 2 1 đôi mươi 0 0 m − 3
⎞⎟⎠⇒ r(A) = 2 ⇔ m − 3 = 0 ⇔ m = 3.
−2d 1 +d 2−d 1 +d 3
d 2 +d 3
det(A) =
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣m 2 2 2 2 m 2 2 2 2 m 2 2 2 2 m
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣m + 6 2 2 2m + 6 m 2 2m + 6 2 m 2m + 6 2 2 m
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣(c 4 + c 3 + c 2 + c 1 )
= (m + 6)
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 2 2 21 m 2 21 2 m 21 2 2 m
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣= (m + 6)
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 2 2 20 m − 2 0 00 0 m − 2 00 0 0 m − 2
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣−d1 + d 2 −d 1 + d 3 −d 1 + d 4
= (m − 2) 3 (m + 6).
det(A) ≠ 0 ⇔ m ∉ 2, −6 ⇒ r(A) = 4;m = 2 ⇒ r(A) = 1;m = −6 ⇒ r(A) = 3
A =⎛⎜⎝1 −1 2 3−1 1 3 −1 −1 7 m
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 −1 2 30 0 5 20 0 5 m − 3
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝1 −1 2 30 0 5 20 0 0 m − 5
⎞⎟⎠.Xem thêm: Cách Giải Và Biện Luận Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Thông Dụng Nhất
d 1 +d 2−d 1 +d 3 −d 2 +d 3
r(A)min = 2 ⇔ m − 5 = 0 ⇔ m = 5.
Câu 16 Ta có
+) Nếu
+) Nếu
Câu 17 Ta có:
+)+)Câu 18 Ta có:
+) Nếu
+) Nếu
Câu 19 Ta có:
+) Nếu
+) Nếu
A =⎛⎜ ⎜⎜⎝2 1 m 3−1 2 1 44 3 2 1−3 4 1 2
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝−3 4 1 2−1 2 1 44 3 2 12 1 m 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 7 3 3−1 2 1 44 3 2 12 1 m 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 7 3 30 9 4 70 −25 −10 −0 −13 m − 6 −
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 7 3 30 9 4 70 0 10 760 0 9 m − 2 64
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 7 3 30 9 4 70 0 10 760 0 36(19m − 22) 0
⎞⎟ ⎟⎟⎠.doi_cho_d 1 &d 4 d 3 +d 1
d −4 1 +dd 2−2d 1 +d 3 1 +d 4
2513 dd 2 +9d 3 2 +9d 4
−64d 3 +76d 3
m = 2219 ⇒ r(A) = 3;
m ≠ 2219 ⇒ r(A) = 4.
A =⎛⎜⎝1 −a a 2 aa −a 2 a 1a 1 −a 3
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 −a a 2 a0 0 a − a 3 1 − a trăng tròn 1 + a 2 −2a 3 1 − a 2
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 −a a 2 a0 1 + a 2 −2a 3 1 − a đôi mươi 0 a − a 3 1 − a 2
⎞⎟⎠.− −adad 1 +d 2 1 +d 3
doi_cho_d 2 &d 3
r(A) = 3 ⇔ < a − a 3 ≠ 0 1 − a 2 ≠ 0
⇔ a ≠ ±1.
r(A) = 2 ⇔ { a − a
3 = 01 − a 2 = 0
⇔ a = ±1.
det(A) =
∣∣∣∣5 b + 1 2 b 4 b + 14 b − 1 b − 1 4 b − 12(3b + 1) 2 b 5 b + 2
∣∣∣∣= b(b − 1)(b + 1).
b ≠ 0; b ≠ ±1 ⇒ r(A) = 3;b ∈ 0; −1; 1 ⇒ D 1212 = (5b + 1)(b − 1) − 2b(4b − 1) = −3b 2 − 2b − 1 ≠ 0, ∀b ⇒ r(A) = 2.
det(A) =
∣∣∣∣3 a 2 a + 1 a + 12 a − 1 2 a − 1 a − 24 a − 1 3 a 2 a
∣∣∣∣= (a + 1)(a − 1) 2.
a ≠ ±1 ⇒ r(A) = 3;a ∈ −1; 1 ⇒ D 1312 = 3a(a − 2) − (2a − 1)(a + 1) = a 2 − 7a + 1 ≠ 0 ⇒ r(A) = 2.
Câu 20 Ta có
+) Nếu
+) Nếu
Vậy
Câu 21 Giải. Ta có:
Vậy
Câu 22 Giải. Ta có:
+)+)det(A) =
∣∣∣∣m m m + 1m m m − 1m + 1 m 2 m + 3
∣∣∣∣= −2m.
m ≠ 0 ⇒ r(A) = 3; m = 0 ⇒ D 1323 = m(2m + 3) − (m + 1)(m − 1) = 1 ≠ 0 ⇒ r(A) = 2.r(A)min = 2 ⇔ m = 0.
A =⎛⎜⎝1 −1 1 1m 3 k − 5 −2 4 k
⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 −1 1 10 m + 3 k − m −m − 50 3 −1 k − 5
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 −1 1 10 3 −1 k − 50 m + 3 k − m −m − 5
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 −1 1 10 3 −1 k − 50 0 3 k − 2m + 3 −(m + 3)(k − 5) − 3(m + 5)
⎞⎟⎠.−md 1 +d 2−5d 1 +d 3
doi_cho_d 2 &d 3
−(m+3)d 2 +3d 3
r(A)min = 2 ⇔ { 3 k − 2m + 3 = 0 −(m + 3)(k − 5) − 3(m + 5) = 0 ⇔
⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢⎣{ k = 1 m = 3⎧⎨⎩
k = −m = −
.32A =⎛⎜⎝a 1 1 1 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 2
⎞⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎝1 1 a 1 a 21 a 1 1 aa 1 1 1 1
⎞⎟⎠−−−−−→⎛⎜⎝1 1 a 1 a đôi mươi a − 1 1 − a 0 a − a 20 1 − a 1 − a 2 1 − a 1 − a 3
⎞⎟⎠−−−→⎛⎜⎝1 1 a 1 a đôi mươi a − 1 1 − a 0 a − a đôi mươi 0 (1 − a)(a + 2) 1 − a (1 − a)(a + 1) 2
⎞⎟⎠.doi_cho_d 1 &d 3
−d 1 +d 2−ad 1 +d 3
d 2 +d 3
r(A)max = 3 ⇔ a ≠ 1.r(A)min = 1 ⇔ a = 1.
CâuCâu
Câu 27 Ta có:
Vậy
Câu 28 Ta có:
Do đó
A =⎛⎜⎝1 −2 0 a + 1 b −c2 3 −1 2 b −a b − 20 −7 1 c 2 c − 1 2 a
⎞⎟⎠−−−−−−→⎛⎜⎝1 −2 0 a + 1 b −c0 7 −1 −2a − 2 + 2b −a − 2b b − 2 + 2c0 −7 1 c 2 c − 1 2 a
⎞⎟⎠−−−−→⎛⎜⎝1 −2 0 a + 1 b −c0 7 −1 −2a − 2 + 2b −a − 2b b − 2 + 2c0 0 0 −2a + 2b + c − 2 −a − 2b + 2c − 1 2 a + b + 2c − 2
⎞⎟⎠.−2d 1 +d 2
d 2 +d 3
r(A)min = 2 ⇔
⎧⎨⎩−2a + 2b + c − 2 = 0−a − 2b + 2c − 1 = 0 2 a + b + 2c − 2 = 0
⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩a = −
b =
c =
.1 9 4 9 8 9A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 0 21 1 m 20 3 m 2 mét vuông −4m −m 2 −3m + 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 0 20 0 m 00 3 m 2 m0 −4m − 2 −m 2 −3m − 1
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 0 20 3 m 2 m0 0 m 00 −4m − 2 −m 2 −3m − 1
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 1 0 20 3 m 2 m0 0 m 00 0 m 2 (4m + 5) 4 m 2 − 7m − 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 0 20 3 m 2 m0 0 m 00 0 0 4 m 2 − 7m − 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−d 1 +d 2−2d 1 +d 4
doi_cho_d 2 &d 3
(4m+2)d 2 +3d 4
−m(4m+5)d 3 +d 4
r(A)max = 4 ⇔ { m ≠ 04 m 2 − 7m − 3 ≠ 0 ;r(A)min = 3 ⇔ < m = 04 m 2 − 7m − 3 = 0.
Câu 31Ta có
+) Nếu
+) Nếu
Câu 32 Đây là ma trận vuông vậy thứ nhất tính định thức của nó:
Do
+) Nếu
+) Nếu
Do đó
A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 2 mét vuông 1 −1 98 m 3 2−6 0 0 9
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 2 m0 −1 −5 9 − 2m0 m − 8 −13 2 − 8m0 6 12 6 m + 9
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 2 m0 −1 −5 9 − 2m0 0 27 − 5m −2m 2 + 17m − 700 0 −18 −6m + 63
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜⎜⎜⎝1 1 2 m0 −1 −5 9 − 2m0 0 0 −3(2m 2 + 57m − 147)0 0 −18 −6m + 63
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 1 2 m0 −1 −5 9 − 2m0 0 −18 −6m + 630 0 0 −3(2m 2 + 57m − 147)
⎞⎟ ⎟⎟⎠.−2 −8dd 1 +d 26 d 1 +d 3 1 +d 4
(m−8)d 2 +d 36 d 2 +d 4
(27−5m)d 4 +18d 3
doi_cho_d 3 &d 4
2 m 2 + 57m − 147 ≠ 0 ⇒ r(A) = 4 ⇒ r(A∗) = 4;2 m 2 + 57m − 147 = 0 ⇒ r(A) = 3 = 4 − 1 ⇒ r(A∗) = 1.
det(A) =
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 a 1 bố 1 b 11 b 1 ab 1 a 1
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣=∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣a + b + 2 a 1 tía + b + 2 1 b 1a + b + 2 b 1 aa + b + 2 1 a 1
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣(c 4 +c 3 +c 2 +c 1 )
= (a + b + 2)
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 a 1 b1 1 b 11 b 1 a1 1 a 1
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣= (a + b + 2)
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣1 a 1 b0 1 − a b − 1 1 − b0 b − a 0 a − b0 1 − a a − 1 1 − b
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣= (a + b + 2)
∣∣∣∣1 − a b − 1 1 − bb − a 0 a − b1 − a a − 1 1 − b
∣∣∣∣= (a + b + 2)
∣∣∣∣1 − a b − 1 1 − bb − a 0 a − b 0 a − b 0
∣∣∣∣(−d 1 +d 3 )
= (a + b + 2)(a − b)(−1)3+2 ∣∣ ∣
1 − a 1 − bb − a a − b
∣∣∣ = (a + b + 2)(a − b) 2 (a + b − 2).
a + b > 2 ⇒ det(A) = 0 ⇔ a = b. A ≠ b ⇒ det(A) ≠ 0 ⇒ r(A) = 4.
a = b ⇒ a = b > 1 ⇒ A =
⎛⎜ ⎜⎜⎝1 a 1 aa 1 a 11 a 1 aa 1 a 1
⎞⎟ ⎟⎟⎠; D 1212 = ∣∣∣1 aa 1
∣∣∣ = 1 −a 2 ∣∣∣∣
1 a 1a 1 a1 a 1
∣∣∣∣= 0.r(A) = 2.
Câu 35 chuyển đổi ma trận:
Câu 36 Có+)
+)
Với
Với
Vậy
Câu 37 Có thay đổi với dòng
A =⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 12 3 2 01 − m 2 −1 0 m + 3 1 1 1 5
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 12 3 2 01 1 1 51 − m 2 −1 0 m + 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 12 3 2 01 1 1 50 −1 1 − m 2 m + 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 10 −1 0 −0 −1 0 40 −1 1 − m 2 m + 3
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 10 −1 0 −0 0 0 60 0 1 − m 2 m + 5
⎞⎟ ⎟⎟⎠−−−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 10 −1 −2 00 0 6 00 0 m + 5 1 − m 2
⎞⎟⎟⎟⎠−−−−−−−−→⎛⎜ ⎜⎜⎝1 2 1 10 −1 −2 00 0 6 00 0 0 1 − m 2
⎞⎟ ⎟⎟⎠⇒ { r(A)min = 3 ⇔ 1 − m
2 = 0 ⇔ m = ±r(A)max = 4 ⇔ 1 − m 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±.
doi_cho_d 3 &d 4
doi_cho_c 1 &c 3 −2d −d 1 +d 1 +d 32
−d 2 +d 3−d 2 +d 4 doi_cho_c 4 &c 3
− m+5 6 d 3 +d 4
det(A) = 4(m 2 + m − 2) = 4(m − 1)(m + 2).r(A)max = 4 ⇔ det(A) ≠ 0 ⇔ m ≠ 1; m ≠ −2.
Bài viết này thamluan.com giới thiệu đến chúng ta đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm những ví dụ và phân loại những dạng toán trường đoản cú cơ bản đến nâng cấp về hạng của ma trận:
Định nghĩa hạng của ma trận
Xét ma trận $A=(a_ij)_m imes n.$ Đặt $A_i^d = (a_i1,a_i2,...,a_in);A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_nj endarray ight).$ Hạng của ma trận $A$ là hạng của hệ véctơ loại $left A_1^d,A_2^d,..,A_m^d ight$ với cũng chính là hạng của hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$ Được kí hiệu là $r(A).$
Định thức bé của ma trận và quan hệ với hạng của ma trận
Hạng của một hệ véctơCác đặc điểm về hạng của ma trận
a) $r(A)=r(A");$
b) trường hợp $A$ là 1 trong ma trận vuông cung cấp $n$ khi ấy $r(A)=nLeftrightarrow det (A) e 0,$ dựa vào tính hóa học này chúng ta có thể dùng định thức nhằm tìm tốt biện luận hạng của một ma trận vuông;
c) ví như $A$ là một ma trận vuông cấp $n$ khi đó hệ véctơ loại (hệ véctơ cột) của ma trận $A$ chủ quyền tuyến tính khi còn chỉ khi $r(A)=n.$
Tổng hợp đề thi và giải cụ thể Đề giữa kì Đại số con đường tính Đại học tập bách khoa hà nội học kì 20191Tổng hợp đề thi và giải cụ thể Đề thân kì Giải tích 1 Đại học tập bách khoa hà nội thủ đô học kì 201911. Tìm kiếm hạng của ma trận đến trước
Để tìm kiếm hạng của ma trận đến trước ta có thể sử dụng phép chuyển đổi Gauss hoặc thực hiện định thức bảo phủ (định thức con bao gồm cấp k của ma trận). Cùng xem các ví dụ sau:
Câu 1:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$
Giải.Ta có:
$egingathered A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 2& - 1&3&1&3 \ 3&2&0& - 1&2 \ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl - 2d_1 + d_2 \ - 3d_1 + d_3 \ - 2d_1 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&2&3& - 7&5 \ 0&3& - 2& - 4&0 endarray ight) hfill \ xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl 2d_2 + d_3 \ 3d_2 + d_4 endsubarray left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1 \ 0& - 1&5& - 3&5 \ 0&0&13& - 13&15 endarray ight). hfill \ endgathered $
Vậy $r(A)=3.$
Câu 2:Cho $x,y,z$ là tía nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ tra cứu hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z \ y&z&x \ z&x&y endarray ight).$
Giải. Theo vi – ét gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ cùng
Do kia $r(A)le 2.$ còn mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow y
D_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019
e 0.$
Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$
Câu 3:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2& - 1&3 \ 0&3& - 1 \ - 2&4&2 \ 2&5&7 endarray ight).$
Giải.Ta có:
Vậy $r(A)=3.$
Câu 4:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 \ 0&10&1&10 endarray ight)$ bằng cách thức định thức bao quanh.
Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2 \ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3 \ - 1&3&0 \ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$
Kiểm tra các định thức cấp 4 phủ bọc định thức $D_123^123$ có
$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4 \ - 1&3&0&1 \ 2&4&1&8 \ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$ Vậy $r(A)=3.$
Câu 5:Tìm hạng của ma trận bằng cách thức định thức bao quanh.
Giải. Có
Ta xét những định thức cấp cho 5 phủ quanh định thức cấp 4 trên
Câu 6:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 3&4&5&...&n + 2 \ 4&5&6&...&n + 3 \ ...&...&...&...&... \ n + 1&n + 2&n + 3&...&2n endarray ight).$
Giải.Ta có
<egingathered A = left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 3&4&5&...&n + 2 \ 4&5&6&...&n + 3 \ ...&...&...&...&... \ n + 1&n + 2&n + 3&...&2n endarray ight)xrightarrow - d_i + d_i + 1(i = 1,2,...,n - 1)left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 1&1&1&...&1 \ 1&1&1&...&1 \ ...&...&...&...&... \ 1&1&1&...&1 endarray ight) hfill \ xrightarrow - d_i + d_i + 1(i = 2,...,n - 1)left( eginarray*20c 2&3&4&...&n + 1 \ 1&1&1&...&1 \ 0&0&0&...&0 \ ...&...&...&...&... \ 0&0&0&...&0 endarray ight) Rightarrow r(A) = 2. hfill \ endgathered >
Câu 7:Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&3&0 \ 2& - 1&1& - 1&4 \ 3&1&3&1&5 \ - 1&3& - 2&1& - 10 endarray ight).$
Giải.Có $D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2& - 1&3 \ 2& - 1&1& - 1 \ 3&1&3&1 \ - 1&3& - 2&1 endarray ight| = 45 e 0 Rightarrow r(A) = 4.$
Câu 8:Tìm hạng của ma trận sau$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n \ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n \ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$
Giải.Có đổi khác ma trận:
<egingathered A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n \ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n \ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - mathbfc_mathbfimathbf + mathbfc_mathbfi + 1mathbf,i = 1,2,...,n - 1left( eginarray*20c 1&1&...&1&1 \ n + 1&1&...&1&1 \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&1&...&1&1 \ n^2 - n + 1&1&...&1&1 endarray ight) hfill \ xrightarrowmathbf - mathbfc_mathbf2mathbf + mathbfc_mathbfimathbf,i = 3,...,nleft( eginarray*20c 1&1&...&0&0 \ n + 1&1&...&0&0 \ ...&...&...&...&... \ n^2 - 2n + 1&1&...&0&0 \ n^2 - n + 1&1&...&0&0 endarray ight) Rightarrow rank(A) = 2. hfill \ endgathered >
Bài 1: Hệ phương trình Cramer
Bài 2: Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Bài 4: quy mô Input - output của Leontief
Bài 5: mô hình cân bằng thị trường và cân nặng bằng kinh tế vĩ mô
BÀI TẬP ÁP DỤNG TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN đến TRƯỚC
Tìm hạng của các ma trận sau:
a) $A = left( eginarray*20c 3&2&1 \ 1& - 1& - 3 \ 1&1&1 endarray ight);$ | b) $A = left( eginarray*20c 2&3& - 1&4 \ 3& - 4&2& - 1 \ - 1&7& - 2& - 8 \ 4&6& - 1& - 5 endarray ight);$ |
| c) $A = left( eginarray*20c 3& - 1&3&2&5 \ 5& - 3&2&3&4 \ 1& - 3& - 5&0& - 7 \ 7& - 5&1&4&1 endarray ight);$ | d) $A = left( eginarray*20c 1&3&5& - 1 \ 2& - 1& - 3&4 \ 5&1& - 1&7 \ 7&7&9&1 endarray ight);$ |
| e) $A = left( eginarray*20c 25&31&17&43 \ 75&94&53&132 \ 75&94&54&134 \ 25&32&20&48 endarray ight);$ | f) $A = left( eginarray*20c 4&3& - 5&2&3 \ 8&6& - 7&4&2 \ 4&3& - 8&2&7 \ 4&3&1&2& - 5 \ 8&6& - 1&4& - 6 endarray ight).$ |
Tj15e5a
YR.png" alt="*">
2. Biện luận hạng của ma trận theo tham số
Tương từ như kiếm tìm hạng của ma trận đến trước ta rất có thể sử dụng phép biến hóa Gauss hoặc sử dụngđịnh thức bao quanh(định thức con chính cấp k của ma trận). Trường hợp ma trận nên biện luận hạng là một trong ma trận vuông ta có thể biện luận hạng của chính nó theo định thức của ma trận đó. Cùng xem những ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$có hạng bé dại nhất.
Ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$có hạng nhỏ tuổi nhất.
Ví dụ 3: Tìm $a$ nhằm hạng của ma trận sau nhỏ dại nhất, cùng với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$
Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ minh chứng rằng với đa số $m$ thì $r(A)=3.$
Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$
Ví dụ 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$
Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$
Ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$
FJNYbc7x1Z.png" alt="*">
