Hệ phương trình con đường tính tổng quát
Hệ phương trình đường tính tổng quát tất cả dạng $left{ egingathered a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_1 = b_1 hfill \ a_12x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2 hfill \ ... hfill \ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m hfill \ endgathered ight..$
Ta gọi là hệ phương trình tuyến đường tính có $m$ phương trình cùng $n$ ẩn.
Bạn đang xem: Biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính
Ax
LQ6z.png" alt="*">
Đặt $A_j^c = left( eginarray*20c a_1j \ a_2j \ ... \ a_mj endarray ight),j = 1,2,...,n$là véctơ cột trang bị j của ma trận hệ số A. Khi đó hệ phương trình
Hệ phương trình đang cho có thể được viết bên dưới dạng véctơ$x_1A_1^c+x_2A_2^c+...+x_nA_n^c=B.$ Vậy hệ gồm nghiệm khi và chỉ còn khi véctơ $B$ trình diễn tuyến tính qua hệ véctơ cột $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight$ của ma trận $A.$ Hệ có bao nhiêu nghiệm thì có bấy nhiêu cách biểu diễn tuyến tính véctơ $B$ qua hệ véctơ cột của ma trận $A.$Do phần đông định thức bé của $A$ phần đông là định thức con của $overlineA$ cho nên vì thế $0le r(A)le r(overlineA)le min left m,n+1 ight.$
Điều kiện yêu cầu và đủ để hệ phương trình đường tính tổng quát tất cả nghiệm
Định lí Kronecker – CapelliCho hệ phương trình đường tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều kiện phải và đủ để hệ phương trình đường tính tất cả nghiệm là $r(A)=r(overlineA).$
Chứng minh.
Ta gồm $r(A)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight,r(overlineA)=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$
Điều kiện cần: ví như hệ bao gồm nghiệm thì véctơ B được màn biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight.$
Do đó
Điều kiện đủ: Nếu $r(A)=r(overlineA)Rightarrow rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c ight=rleft A_1^c,A_2^c,...,A_n^c,B ight.$
Ta bao gồm điều đề nghị chứng minh.
Khảo sát bao quát hệ phương trình tuyến đường tính
Cho hệ phương trình con đường tính có $n$ ẩn, các ma trận thông số và ma trận hệ số không ngừng mở rộng lần lượt là $A,overlineA.$ khi đó:
Nếu $r(A)=r(overlineA)=n$ (số ẩn của hệ) thì hệ có nghiệm duy nhất;Nếu $r(A)=r(overlineA)=rVí dụ 1: Giải với biện luận hệ phương trình $left{ egingathered x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 7 hfill \ 2x_1 + 5x_2 + x_3 + 5x_4 = 16 hfill \ 3x_1 + 7x_2 + x_3 + 8x_4 = 23 hfill \ 5x_1 + 12x_2 + 2x_3 + 13x_4 = m hfill \ 6x_1 + 14x_2 + 3x_3 + 16x_4 = 46 hfill \ endgathered ight..$
Biến thay đổi ma trận thông số mở rộng:
$overline A = left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 2&5&1&5&16 \ 3&7&1&8&23 \ 5&12&2&13&m \ 6&14&3&16&46 endarray ight)xrightarrowegingathered mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 hfill \ mathbf - 3mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 hfill \ mathbf - 5mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 hfill \ mathbf - 6mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf5 hfill \ endgathered left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&2&2& - 2&m - 35 \ 0&2&3& - 2&4 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf5 endsubarray left( eginarray*20c 1&2&0&3&7 \ 0&1&1& - 1&2 \ 0&0&0&0&0 \ 0&0&0&0&m - 39 \ 0&0&1&0&0 endarray ight).$
+ trường hợp $m-39=0Leftrightarrow m=39Rightarrow r(A)=r(overlineA)=2GB2ERp1.png" alt="*">
